डाईपोल मोमेंट $\vec{M} = M\hat{k}$ वाले बिंदु डाईपोल के चुंबकीय क्षेत्र के लिए एम्पीयर के नियम का सत्यापन कीजिए। $C$ को $z$-अक्ष पर $z = a > 0$ से $z = R$ तक,फिर $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप पर $x$-अक्ष तक,फिर $x$-अक्ष पर $x = a$ तक,और अंत में $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप पर वापस $z$-अक्ष तक जाने वाला बंद लूप मानिए।

(A) डाईपोल $\vec{M} = M\hat{k}$ का गोलीय निर्देशांक में बिंदु $(r, \theta)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} (2\cos\theta \hat{r} + \sin\theta \hat{\theta})$ है।
$1$. $z$-अक्ष पर ($P$ से $Q$): $\theta = 0$,$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3} \hat{k}$. अतः,$\int_P^Q \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_a^R \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3} dz = \frac{\mu_0 M}{4\pi} (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{R^2})$.
$2$. $R$ त्रिज्या के चाप पर ($Q$ से $S$): $\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_\theta (R d\theta) = \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2} \sin\theta d\theta$. $\theta = 0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2} \sin\theta d\theta = \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2}$.
$3$. $x$-अक्ष पर ($S$ से $T$): $\theta = \pi/2$,$\vec{B} = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{x^3} \hat{k}$. अतः,$\int_S^T \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_R^a (-\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3}) dx = -\frac{\mu_0 M}{8\pi} (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{R^2})$.
$4$. $a$ त्रिज्या के चाप पर ($T$ से $P$): $\int_{\pi/2}^0 \frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2}$.
इन सबका योग करने पर,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जो इस पथ के लिए एम्पीयर के नियम को सत्यापित करता है क्योंकि कोई धारा परिबद्ध नहीं है।